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Diagramme de Bode

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Reprenons le cas du circuit RC

Le diagramme de Bode permet de caractériser un circuit en Fréquence.
Toute sinusoïde “entrant” dans un système linéaire temporellement invariant (SLTI) subit une atténuation (ou amplification) et un déphasage (retard temporel).
Cette modification du signal dépend de la fréquence .

Le tracé du diagramme de Bode consiste à observer l’atténuation et le déphasage du signal de sortie par rapport au signal d’entrée, et ce pour toutes les fréquences.

Ces observations se font en Régime Permanent .

Rappelons que tout signal est une somme infinie de sinusoïdes


Détermination de la Fonction de Transfert

Pont Diviseur de Tension avec les impédances :

\( \overline{v_{s}}(t)= \overline{v_{e}}(t) . \frac{\overline{z_C}}{R + \overline{z_C}} \)
\( \overline{v_{s}}(t)= \overline{v_{e}}(t) . \frac{1}{1 + jRC\omega} \)
\( \overline{T}(\omega)=\frac{\overline{v_{s}}(t)}{\overline{v_{e}}(t)}=\frac{1}{1 + jRC\omega} \)

\( \omega_0=\frac{1}{\tau}=\frac{1}{RC} \)

\( \overline{T}(\omega)=\frac{1}{1 + j\left ( \frac{\omega}{\omega_0} \right ) } \)


Rappels sur les complexes

\( z=a+jb=r.e^{j\theta} \)

Module
\( r=\sqrt{a^2+b^2} \) ( pythagore )

Argument
\( \theta = \arctan \left( \frac{b}{a} \right ) \)

Autre situation :
\( z=\frac{1}{a+jb}=\frac{1}{r.e^{j\theta}} \)
\( Module = \left | \frac{1}{r.e^{j\theta}} \right | = \left | \frac{1}{r} \right | . \left | \frac{1}{e^{j\theta}} \right | \)
\( Module =\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} \)

Sachant que :

\( \frac{e^{x}}{e^{y}} = e^{x-y} \)

\( Arg[ \frac{1}{r.e^{j\theta}} ] = Arg[e^{0}]-Arg[r.e^{j\theta}] \)
\( Arg[ \frac{1}{r.e^{j\theta}} ] = 0-\arctan \left( \frac{b}{a} \right ) \)
\( Arg[ \frac{1}{r.e^{j\theta}} ] = -\arctan \left( \frac{b}{a} \right ) \)


Tracé du Diagramme de Bode

Rappelons que Vs et Ve étant sinusoïdaux, on peut les exprimer avec la forme complexe exponentielle :

\( \overline{v_e}(t)=V_{e_M} e^{j\omega t -\Phi_e} \)
\( \overline{v_s}(t)=V_{s_M} e^{j\omega t -\Phi_s} \)

Amplitude

L’observation de l’atténuation ou de l’amplification se fait en comparant le module du signal de sortie par rapport au module du signal d’entrée.

\( \mid T(\omega) \mid = \frac{V_{s_M}}{V_{e_M}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left ( \frac{\omega}{\omega_0} \right )^2}} \)

En dB :

\( \mid T(\omega) \mid _{dB} = 20log\mid T(j\omega) \mid \)

Tracé Asymptotique

\( \omega \rightarrow +\infty \Rightarrow \mid T( \omega ) \mid \rightarrow \frac{\omega_0}{\omega} \Rightarrow \mid T(\omega) \mid _{dB} \rightarrow 20\log(\omega_0)-20\log(\omega) \Rightarrow \mid T(\omega) \mid _{dB} \rightarrow -20\log(\omega) \)

\( 20.\log(10.\omega) = 20.\log(\omega) - 20 \)

Pente -20dB/decade.

\( \omega \rightarrow 0 \Rightarrow \mid T( \omega ) \mid \rightarrow 1 \Rightarrow \mid T(\omega) \mid _{dB} \rightarrow 0 \)

Points caractéristiques

\( \omega = \omega_0 \Rightarrow \mid T( \omega ) \mid = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \mid T(\omega) \mid _{dB} = -3dB \)

Déphasage

\( \Phi = \Phi_s - \Phi_e = Arg[v_s] - Arg[v_e] \)

\( \Phi = Arg[T(\omega)] = Arg \left [\frac{1}{1 + j\left ( \frac{\omega}{\omega_0} \right ) } \right ] \)

\( \Phi = -\arctan \left ( \frac{\omega}{\omega_0} \right ) \)

Tracé Asymptotique

\( \omega \rightarrow +\infty \Rightarrow \Phi \rightarrow -\arctan( +\infty ) \Rightarrow \Phi \rightarrow -\frac{\pi}{2} \)

Points caractéristiques

\( \Phi (\omega_0) = -\arctan \left ( \frac{\omega_0}{\omega_0} \right ) = -\frac{\pi}{4} \)



Script Scilab pour générer les figures ci dessus


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