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Comment Représenter mathématiquement une impulsion ?
Considérons le cas suivant :
Le condensateur étant initialement déchargé, si je ferme l’interrupteur à t=0, ce dernier aura in fine une charge Q=CU.
Il y a donc eu circulation ( infiniment brève) d’un courant, soit une impulsion de courant.
Supposons que l’on représente ce courant par une fonction telle que :
i(0)=1, i(t>0)=0
alors
\( \int_{-\infty}^{+\infty}i(t) dt=0 \)
donc Q=0
Cette représentation mathématique n’est donc pas valable.
Considérons maintenant :
Définition
Une distribution de dirac peut se définir ainsi :
\( \delta(0) = +\infty \)
\( \delta(t \neq 0) = 0 \)
\( \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1 \)
Propriétés
\( \int_{-\infty}^{+\infty}g(t).\delta(t)dt=g(0) \)
\( \int_{-\infty}^{+\infty}g(t).\delta(t-t_{0})dt=g(t_{0}) \)
Réponse d’un système à une impulsion de dirac.
Système linéaire du première ordre :
Equation Différentielle
\( \tau.\frac{\mathrm{d}y(t) }{\mathrm{d} t}+y(t)=x(t) \)
Résolution de l’équation différentielle pour trouver la réponse impulsionnelle
\( y(t)=\frac{1}{t_0}(1-e^{-\frac{t}{\tau}}) \)
\( y(t_0)=\frac{1}{t_0}(1-e^{-\frac{t_0}{\tau}}) \)
\( y(t)=B.e^{\frac{-(t-t_0)}{\tau}}) \)
\( y(t_0)=\frac{1}{t_0}(1-e^{-\frac{t_0}{\tau}}).e^{\frac{-(t-t_0)}{\tau}} \)
Rappel : Développement limité en 0 :
\( x\rightarrow 0\Rightarrow e^x \approx 1+x \)
\( t_0\rightarrow 0 \ \Rightarrow y(t_0) \approx \frac{1}{t_0}(\frac{t_0}{\tau}).e^{-\frac{t}{\tau}} \)
Réponse impulsionnelle
\( y(t)=h(t)=\frac{1}{\tau}.e^{-\frac{t}{\tau}} \)
h(t) réponse impulsionnelle
\( y(t)=(h\otimes x)(t) \)
\( y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(t-\tau).x(\tau)d\tau \)
\( y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau).x(t-\tau)d\tau \)
Connaissant la réponse impulsionnelle d’un système, il est possible d’en déduire tout type de réponse avec le produit de convolution.
Exemple : Réponse à un échelon (réponse indicielle):
\( y(t)=(\color{red}{h}\otimes x)(t) \)
\( y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} \color{red}{\frac{1}{\tau}.e^{-\frac{(t-\theta)}{\tau}}}step(\theta)d\theta \)
\( y(t)=\int_{0}^{t} \color{red}{\frac{1}{\tau}.e^{-\frac{(t-\theta)}{\tau}}}d\theta \)
\( y(t)=\left [ e^{\frac{-(t-\theta)}{\tau}} \right ]_{0}^{t} \)
\( y(t)=1-e^{-\frac{t}{\tau}} \)
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