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Produit de Convolution

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Distribution de Dirac

Comment Représenter mathématiquement une impulsion ?

Considérons le cas suivant :

Le condensateur étant initialement déchargé, si je ferme l’interrupteur à t=0, ce dernier aura in fine une charge Q=CU.
Il y a donc eu circulation ( infiniment brève) d’un courant, soit une impulsion de courant.
Supposons que l’on représente ce courant par une fonction telle que : i(0)=1, i(t>0)=0

alors

\( \int_{-\infty}^{+\infty}i(t) dt=0 \)

donc Q=0
Cette représentation mathématique n’est donc pas valable.
Considérons maintenant :

Définition

Une distribution de dirac a peut se définir ainsi :

\( \delta(0) = +\infty \)
\( \delta(t \neq 0) = 0 \)

\( \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1 \)

Propriétés
\( \int_{-\infty}^{+\infty}g(t).\delta(t)dt=g(0) \)
\( \int_{-\infty}^{+\infty}g(t).\delta(t-t_{0})dt=g(t_{0}) \)


Réponse Impulsionnelle

Réponse d’un système à une impulsion de dirac.

Système linéaire du première ordre :

Equation Différentielle
\( \tau.\frac{\mathrm{d}y(t) }{\mathrm{d} t}+y(t)=x(t) \)

Résolution de l’équation différentielle pour trouver la réponse impulsionnelle

\( y(t)=\frac{1}{t_0}(1-e^{-\frac{t}{\tau}}) \)

\( y(t_0)=\frac{1}{t_0}(1-e^{-\frac{t_0}{\tau}}) \)
\( y(t)=B.e^{\frac{-(t-t_0)}{\tau}}) \)
\( y(t_0)=\frac{1}{t_0}(1-e^{-\frac{t_0}{\tau}}).e^{\frac{-(t-t_0)}{\tau}} \)

Rappel : Développement limité en 0 :
\( x\rightarrow 0\Rightarrow e^x \approx 1+x \)

\( t_0\rightarrow 0 \ \Rightarrow y(t_0) \approx \frac{1}{t_0}(\frac{t_0}{\tau}).e^{-\frac{t}{\tau}} \)

Réponse impulsionnelle

\( y(t)=h(t)=\frac{1}{\tau}.e^{-\frac{t}{\tau}} \)


Convolution

Produit de convolution

h(t) réponse impulsionnelle

\( y(t)=(h\otimes x)(t) \)
\( y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(t-\tau).x(\tau)d\tau \)
\( y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau).x(t-\tau)d\tau \)

Connaissant la réponse impulsionnelle d’un système, il est possible d’en déduire tout type de réponse avec le produit de convolution.

Exemple : Réponse à un échelon (réponse indicielle):

\( y(t)=(\color{red}{h}\otimes x)(t) \) \( y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} \color{red}{\frac{1}{\tau}.e^{-\frac{(t-\theta)}{\tau}}}step(\theta)d\theta \)
\( y(t)=\int_{0}^{t} \color{red}{\frac{1}{\tau}.e^{-\frac{(t-\theta)}{\tau}}}d\theta \)
\( y(t)=\left [ e^{\frac{-(t-\theta)}{\tau}} \right ]_{0}^{t} \)

\( y(t)=1-e^{-\frac{t}{\tau}} \)

Explication


Script Scilab pour générer les figures ci dessus

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