Page Personnelle de Vincent Kerhoas Vincent Kerhoas - Professeur Agrégé

Séries de Fourier

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Constat

Tout signal Périodique est la somme de sinusoïdes de différentes fréquences.

Ex: Signal carré

à mesure que j’ajoute des sinusoïdes, le signal carré se forme.
Je note l’amplitude de chacune ces sinusoides dans le plan des fréquences.


Définition

y(t) Fonction T-périodique

\( y(t)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}[a_n\cos n\omega t + b_n \sin n\omega t] \)

\( a_0\ valeur\ moyenne : a_0=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}y(t)dt \)

Toute fonction T-périodique résulte d’une somme infinie de cosinus et sinus.

$ \left\{\begin{matrix} a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}y(t)\cos( n\omega t) dt \\ b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}y(t)\sin( n\omega t) dt \end{matrix}\right. $

Démonstration (facultatif)

\( y(t).\cos(k\omega t)=\frac{a_0}{2}.cos(k\omega t)+\cos(k\omega t)\sum_{n=1}^{N}(a_n \cos(n\omega t)+b_n \sin(nt)) \)
\( y(t).\cos(k\omega t)=\frac{a_0}{2}.cos(k \omega t)+\sum_{n=1}^{N}(a_n \cos(n \omega t) \cos(k \omega t)+b_n \sin(n \omega t)\cos(k \omega t)) \)
\( \int_{-T}^{+T} y(t)cos(k\omega t)dt = \int_{-T}^{+T} \frac{a_0}{2} \cos(k \omega t)dt + \int_{-T}^{+T} \sum_{n=1}^{N}(a_n \cos(n \omega t) \cos(k \omega t)+b_n \sin(n \omega t)\cos(k \omega t))dt \)
\( \int_{-T}^{+T} y(t)cos(k\omega t)dt = \frac{a_0}{2} \int_{-T}^{+T} \cos(k \omega t)dt + \sum_{n=1}^{N} a_n \int_{-T}^{T} \cos(n \omega t) \cos(k \omega t) dt + \sum_{n=1}^{N} b_n \int_{-T}^{T} \sin(n \omega t) \cos(k \omega t)dt \)
parmi les n, il existe un et un seul n égal à k tel que :

\( \sum_{n=1}^{N} a_n \int_{-T}^{T} \cos(n \omega t) \cos(k \omega t) dt = \sum_{n=1, n\neq k}^{N} a_n \int_{-T}^{T} \cos(n \omega t) \cos(k \omega t) dt + a_k \int_{-T}^{T} \cos^2(k\omega t) dt = a_k \pi \)
\( a_k = \frac{1}{\pi}\int_{-T}^{T}y(t)\cos(k \omega t) dt \)

Forme Complexe

\( y(t)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty} \left [a_n\cos n\omega t + b_n \sin n\omega t \right ] \)
\( y(t)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty} \left [a_n \frac{e^{jn\omega t}+e^{-jn\omega t}}{2} + b_n \frac{e^{jn\omega t}-e^{-jn\omega t}}{2j} \right ] \)
\( y(t)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty} \left [\frac{a_n-jb_n}{2}e^{jn\omega t} + \frac{a_n+jb_n}{2}e^{-jn\omega t} \right ] \)

On pose : \( c_n= \frac{a_n-jb_n}{2} \) , \( c_{-n}= \frac{a_n+jb_n}{2} \) , \( c_0=a_0 \)

\( y(t)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty} c_n e^{jn\omega t} + \sum_{-n=1}^{+\infty} c_{-n} e^{-jn\omega t} \)
\( y(t)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty} c_n e^{jn\omega t} + \sum_{n=-1}^{-\infty} c_{n} e^{jn\omega t} \)

\( y(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{jn\omega t} \)

\( c_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}y(t)e^{-jn\omega t} dt \)

La forme complexe permet d’estimer en une seule expression la contribution sinusoïdale et cosinusoïdale.

La contrepartie de cette simplification mathématique est désormais la nécessité de considérer des ‘fréquences négatives’ pour le calcul.

\( \)


Exemples

Signal carré y(t) d’amplitude U

\( y(t)=\frac{4U}{\pi}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\sin[(2n+1)\omega t]}{2n+1} \)
\( y(t)=\frac{4U}{\pi}[\sin(\omega t)+\frac{1}{3}\sin(3\omega t)+\frac{1}{5}sin(5\omega t)+…+\frac{sin[(2n+1)\omega t]}{2n+1}] \)

Signal triangulaire y(t) d’amplitude U

\( y(t)=-\frac{8U}{\pi^2}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\cos[(2n+1)\omega t]}{(2n+1)^2} \)
\( y(t)=-\frac{8U}{\pi^2}[\cos\omega t + \frac{1}{9}\cos(3\omega t)+\frac{1}{25}\cos(5\omega t) +…+ \frac{cos[(2n+1)\omega t]}{(2n+1)^2} ] \)


Interprétation Mathématique

Espace Euclidien et Produit scalaire

Je considère une base géométrique orthogonale (orthogonale # indépendant, il me faut ici 2 coordonnées pour exprimer un point)
$ \overrightarrow{V} = 2.\overrightarrow{X} + 5.\overrightarrow{Y} $
Si je veux connaître la coordonnée en X, j'applique le produit scalaire :
$ \overrightarrow{V} \begin{bmatrix} 2\\ 5 \end{bmatrix} $
$ \overrightarrow{X} \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} $
$ <V,X>= \overrightarrow{V}.\overrightarrow{X} = \begin{bmatrix} 2\\ 0 \end{bmatrix} $

Ainsi, mon vecteur existe dans une base donnée.
Je peux le décrire à travers une somme faisant apparaitre les composantes de cette base ( X et Y).
Pour calculer une composante en particulier, j’utilise le produit scalaire.

Retour aux séries de Fourier : Produit scalaire hermitien

Ce concept de base peut s’étendre au domaine spectral, l’objectif étant alors d’exciter chacune des composantes sinusoïdales de notre signal.

( REM : on utilise le concept de produit scalaire dans une base hermitienne : \( <f,g>= \int f(t) \bar{g(t)} dt \) )

Considérons un signal \( y(t)= \cos(2 \pi Ft) \).
Afin de représenter ce signal dans un espace fréquentiel, je vais comparer y(t) avec des signaux sinusoidaux.
J’utilise la forme exponentielle pour détecter la contribution sinusoidale et cosinusoidale.

Supposons dans un premier temps que mon signal \( e^{-2 \pi F_at } \) ait une fréquence \(F_a = F \)
En décomposant y(t) en une somme d’exponentielles, et en appliquant le produit scalaire \( \int_{-T/2}^{T/2}y(t)e^{-2\pi F_at} dt \)
J’obtiens un résultat non nul.
Cette intégration, ou produit scalaire, permet d’estimer le degré de ressemblance ( ou corrélation ) entre mon signal y(t) et un signal sinusoidal.
S’agissant de 2 sinusoïdes de même fréquence, ce résultat est non nul.

ANALYSE SPECTRALE :

Je peux “ranger” ce résultat dans une base fréquentielle :

Si je fais le même calcul pour une fréquence \(F _a \neq F \) ( ou -F), le résultat de mon intégrale sera nul.

ANALYSE SPECTRALE :


Script Scilab et Matlab/Octave pour générer les figures ci dessus

SCILAB

MATLAB/OCTAVE


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