Signaux sinusoïdaux

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Le cercle trigonométrique

Promenons nous autour du cercle trigonométrique.

Supposons une vitesse de déplacement angulaire $ \omega $ (pulsation en rad/s)

La position angulaire atteinte au bout d’un temps t sera alors : $ \theta(t)=\omega.t $

On parcourt $ 2\pi $ rad tous les T.

$ \omega = \frac{2\pi}{T} $

$ f = \frac{1}{T} $

Diagramme de Fresnel

Considérons 2 signaux sinusoïdaux de même fréquence.

$ v_1(t)=V_1sin(\omega t) $
$ v_2(t)=V_2sin(\omega t-\phi) $

La représentation de fresnel consiste à représenter des grandeurs sinusoïdales de même fréquence sous forme de vecteurs.
Cela fait apparaître l’amplitude des tensions et le déphasage entre ces tensions.

Application : Circuit RC

$ i(t)=Isin(\omega t) $
$ v_R(t)=R.i(t)=R.Isin(\omega t) $
$ v_C(t)=\frac{1}{C}\int i(t) dt=\frac{I}{C}.sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) $
$ v_e(t)=v_R(t)+ v_C(t)$
$ v_e(t)=V_esin(\omega t-\phi) $

Nombres Complexes et Signaux

Plaçons les vecteurs $ v_1(t) $ et $ v_2(t) $ précédents dans le plan des complexes.

Nous disposons alors d’un outil mathématique (les nombres complexes) pour décrire la position de nos vecteurs à tout moment.
En effet en utilisant la notation exponentielle :

$ v_1(t)=V_1 e^{j\omega t} $
$ v_2(t)=V_2 e^{j\omega t-\phi} $

Nous pouvons donc décrire des grandeurs sinusoïdales avec les nombres complexes.
L’avantage est que les calculs (sommes, dérivations, intégrations etc..) de ces grandeurs seront nettement plus simples qu’avec des notations sin et cos.

RAPPELS

Définition d’un nombre complexe :

$ z=a+jb $
$ z=r(\cos \theta + j \sin \theta) $ avec $ r= \sqrt{a^2+b^2} $

Euler

$ \left\{\begin{matrix} \cos \theta = \frac{e^{j \theta}+e^{-j \theta}}{2} \\ \sin \theta = \frac{e^{j \theta}-e^{-j \theta}}{2j} \end{matrix}\right. $

$ –> cos \theta + j.sin\theta = e^{j\theta} $

D’où

$ z=r.e^{j\theta} $ ( Forme Polaire )

Impédances Complexes

Résistance

$ u_R(t)=R.i(t) $

$ \overline{z_R}=R $

Inductance

$ u_L(t)=L.\frac{\mathrm{d}i(t) }{\mathrm{d} t} $

$ \overline{i}(t)=Ie^{j\omega t} $
$ \overline{u_L}(t)=L. \frac{\mathrm{d}(Ie^{j\omega t}) }{\mathrm{d} t} $
$ \overline{u_L}(t)=j\omega L.Ie^{j\omega t} $
$ \overline{u_L}(t)=j\omega L.\overline{i}(t) $
$ \overline{u_L}(t)=\overline{z_L}.\overline{i}(t) $

$ \overline{z_L}=j\omega L $

Le courant i est retardé par rapport à u

Condensateur

$ q(t)=C.u_C(t) \Rightarrow u_C(t)=\frac{1}{C}.\int i(t) dt $
$ \overline{i}(t)=Ie^{j\omega t} $
$ \overline{u_C}(t)=\frac{1}{C}\int Ie^{j\omega t} dt $
$ \overline{u_C}(t)=\frac{1}{j\omega C}. Ie^{j\omega t} $
$ \overline{u_C}(t)=\frac{1}{j\omega C}. \overline{i}(t) $
$ \overline{u_C}(t)=\overline{z_C}. \overline{i}(t) $

$ \overline{z_C}=\frac{1}{j\omega C} $

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