Transformée de Fourier et Signal Echantillonné

Transformée de Fourier Signal Temps Discret ( TFTD )

• Le signal temporel est discret ( échantillonné )
• La transformée de Fourier de ce signal est continue pour un signal non périodique.

Rappel : Transformée de Fourier

\( Y(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}y(t)e^{-j2\pi f t } dt \)

Définition d’un signal échantillonné :

\( y_e(t) = y(t).\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t-nT_e) \)
\( y_e(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) \delta(t-nT_e) \)

Transformée de Fourier d’un signal échantillonné :

\( \mathcal{F}[y_e(t)]= \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) \delta(t-nT_e) \right ) .e^{-j2\pi f t } dt \)
\( Y_e(f)= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) \color{red}{ \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-nT_e) .e^{-j2\pi f t } dt } \)

\( Y_e(f)= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) \color{red}{ e^{-j2\pi.f.n.T_e} } \)

Transformée de Fourier Discrète

Le signal temporel est discret ( échantillonné ), et fini ( N échantillons ).
La transformée de Fourier de ce signal est également discrète.

\( Y_e(f)= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) e^{-j2\pi.f.n.T_e} \)

\( 0 < f < Fe \)

Posons \( f_k=\frac{k}{N}.Fe \) avec k=0,1,2,..,N-1

\( Y_e(f_k)= \sum_{n=0}^{N-1} y(nT_e) e^{-j2\pi.\frac{k}{N}.Fe.n.T_e} \)

\( Y_e(k)= \sum_{n=0}^{N-1} y(nT_e) e^{-j2\pi.\frac{k}{N}.n} \)